A törtek közös nevezőre hozása

Hirdetés
Hirdetés

A legtöbb törtes feladat része a törtek közös nevezőre hozása. Ezt alapvetően háromféleképpen tudod megtenni. A lényege mindkettőnek ugyanaz, de vannak előnyök és hátrányok, amelyek nem árt mérlegelned. Nézzük meg, miről is van szó!

Mikor van szükséged a törtek közös nevezőre hozására?

Elsőként tisztázzuk, hogy mi is az a nevező. Ehhez jó, ha ismered a törtek részeit, de most elég lehet annyi is, hogy a törtvonal alatti számról beszélünk.

De mégis mikor alkalmazzuk a törtek közös nevezőre hozását?

  • törtek összeadásakor,
  • törtek kivonásakor,
  • törtes egyenleteknél,
  • olyan feladatoknál, amelyek igénylik a közös nevezőt (például, ha úgy kell ábrázolnod, hogy jobb, ha közös nevezőre hozod a törteket).

A törtek közös nevezőre hozása lépésről lépésre

Amint már említettem, alapvetően kétféle módszer létezik a törtek közös nevezőre hozására. Mindkettőhöz ismerned kell, hogyan bővítjük a törteket.

Törtek közös nevezőre hozása egyszerű szorzással

A legegyszerűbb módszer az, ha a törtek nevezőjét összeszorzod. Ilyenkor ügyelj arra, hogy a számlálót is be kell szoroznod a másik tört nevezőjében lévő számmal! Mutatom is egy példán keresztül:

Hirdetés
Hozzuk közös nevezőre a \(1\over2\)-et és a \(2\over3\)-ot!

Elsőként beszorzod a második tört nevezőjében lévő számmal az első tört számlálóját és nevezőjét is, majd ezt fordítva is megteszed:

Így fog kinézni:

\(1·3\over2·3\) és \(2·2\over3·2\)

Ezután pedig már csak a szorzást kell elvégezned:

\(1·3\over2·3\)=\(3\over6\) és \(2·2\over3·2\)=\(4\over6\)

A módszer előnye, hogy nagyon gyorsan elvégezhető. Hátránya, hogy egyes törtek esetében nagy szám kerülhet a nevezőbe, és azzal nehéz lehet számolni.

Törtek közös nevezőre hozása csak az egyik tört bővítésével

Előfordul, hogy az egyik tört nevezője éppen a többszöröse a másik tört nevezőjének. Ilyenkor felesleges a kettőt összeszorozni, mert nagyobb számokat kapsz, és azokkal nem olyan jó számolni.

Helyette az a megoldás, hogy az egyik törtet kibővíted a másik tört nevezőjére.

Nézzünk is rá egy példát, így érthetőbb lesz:

Hozzuk közös nevezőre az \(1\over2\)-et és a \(3\over4\)-et!

Amint látod, a két nevező a 2 és a 4. A 4 többszöröse a 2-nek, mert a 2-vel el tudod osztani a 4-et.

Ilyenkor csak annyi a teendőd, hogy bővítsd ki az \(1\over2\)-et úgy, hogy a nevezője 4 legyen!

Ehhez a számlálót és a nevezőt is 2-vel kell megszoroznod:

\(1\over2\)=\(1·2\over2·2\)=\(2\over4\)

Már közös nevezőre is hoztad a két törtet:

\(1\over2\)=\(2\over4\) és \(3\over4\) – az utóbbihoz pedig hozzá sem kellett nyúlnod.

A módszer előnye, hogy nagyon egyszerű és nem kell nagy számokkal számolnod. Hátránya, hogy viszonylag ritkán tudod alkalmazni.

Törtek közös nevezőre hozása a legkisebb közös többszörös megkeresésével

Előfordulhat, hogy a két nevező összeszorzásával (1. módszer) nagyon nagy számot kapnál, és nem szeretnél azzal számolni. Ilyenkor egyszerűbb lehet, ha megkeresed a két nevező legkisebb közös többszörösét.

Nézzünk erre is egy példát:

Hozzuk közös nevezőre a \(2\over25\)-öt és a \(3\over35\)-et!

Ha összeszorzod a 25-öt és a 35-öt, akkor 875-öt kapsz. Beláthatod, hogy olyan törtekkel, amelyeknek 875 a nevezője, nem nagyon jó számolni.

Ilyenkor az első lépés a két nevező legkisebb közös többszörösének meghatározása. Ezt itt most nem részletezem, fent linkeltem egy érthető cikket.

A lényeg az, hogy a 25 és a 35 legkisebb közös többszöröse a 175. Ez sem kicsi szám, de azért barátságosabb, mint a 875.

A kérdés már csak az: mit kezdj ezzel?

Nézd meg, hogy a 175-ben hányszor van meg a 25 és a 35!

175:25=7
175:35=5
Ebből tudhatod, hogy a \(2\over25\) törtet 7-szeresére, a \(3\over35\) törtet pedig 5-szeresére kell bővítened:
\(2\over25\)=\(2·7\over25·7\)=\(14\over175\)
\(3\over35\)=\(3·5\over35·5\)=\(15\over175\)

Meg is kaptad a végeredményt:

\(2\over25\)=\(14\over175\) és \(3\over35\)=\(15\over175\)

Ennek a módszernek az előnye, hogy a törtek közös nevezőre hozásakor el tudod kerülni az extra nagy számokkal való számolást. A hátránya, hogy mérlegelned kell, megéri-e a legkisebb közös többszörös kiszámolásával is foglalkozni.

Bármelyik módszert is használod a törtek közös nevezőre hozására, a lényeg, hogy a végeredmény jó legyen. Használd azt, amelyik neked kényelmesebb, szimpatikusabb, mert mindegyik jó megoldást ad.

Szólj hozzá!